一、用拉格朗日定理證明柯西中值定理
如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足:
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);
(3)對(duì)任一x∈(a,b),F(xiàn)'(x)≠0,
那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ζ,使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。
柯西簡(jiǎn)潔而嚴(yán)格地證明了微積分學(xué)基本定理即牛頓-萊布尼茨公式。他利用定積分嚴(yán)格證明了帶余項(xiàng)的泰勒公式,還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積,推導(dǎo)了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。
二、利用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理
首先,由于點(diǎn)( a,f(a) )和點(diǎn)( b,f(b) )的連線方程是這樣的 y=[ (f(b)-f(a))/(b-a) ](x-a)+f(a)
所以構(gòu)造函數(shù)成兩曲線距離d與x之間的關(guān)系即可:H(x)=f(x)-y (曲線減去直線)
由于兩條線的起點(diǎn)與終點(diǎn)均重合,所以必然符合羅爾定理的條件H(a)=H(b),然后馬上可以用羅爾定理證得.
思路:
1、拉格朗日中值定理其實(shí)就是羅爾定理的推廣(或者說(shuō)一般情況),而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推廣(或者說(shuō)特殊情況).
2、羅爾定理的條件f(a)=f(b)就意味著是點(diǎn)( a,f(a) )和點(diǎn)( b,f(b) )的連線平行于坐標(biāo)軸的情況,然后求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)(等價(jià)于求f'(k)=0的點(diǎn))屬于特殊情況.
而拉格朗日中值定理的情況是,羅爾定理的一般情況.( a,f(a) )和點(diǎn)( b,f(b) )的連線已經(jīng)跟x軸產(chǎn)生夾角了,所以構(gòu)造函數(shù)的時(shí)候就要把它的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)變一下.然后還是跟羅爾定理一樣,求出函數(shù)H(x)的極值點(diǎn)即可.
三、拉格朗日中值定理推導(dǎo)柯西中值定理
拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一,它反應(yīng)了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。表達(dá)式f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b)。
四、柯西中值定理可以證明拉格朗日中值定理?
特殊到一般的關(guān)系。連續(xù)函數(shù)介值定理是引理,最特殊的。羅爾定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要連續(xù)可導(dǎo)有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是羅爾定理??挛髦兄刀ɡ韋(x)g(x)連續(xù)可導(dǎo),gx導(dǎo)數(shù)不為0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果設(shè)g(x)=x則g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以說(shuō)拉格朗日是柯西的特殊情況(g(x)=x)羅爾是拉格朗日的特殊情況(f(b)=f(a))
五、拉格朗日中值定理證明柯西中值定理
羅爾定理:如果函數(shù)f(x)滿足: 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù); 在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo); 其中a不等于b; 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b), 那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f'(ξ)=0. 羅爾定理的三個(gè)已知條件的直觀意義是:f(x)在[a,b]上連續(xù)表明曲線連同端點(diǎn)在內(nèi)是無(wú)縫隙的曲線;f(x)在內(nèi)(a,b)可導(dǎo)表明曲線y=f(x)在每一點(diǎn)處有切線存在;f(a)=f(b)表明曲線的割線(直線AB)平行于x軸.羅爾定理的結(jié)論的直觀意義是:在(a,b)內(nèi)至少能找到一點(diǎn)ξ,使f'(ξ)=0,表明曲線上至少有一點(diǎn)的切線斜率為0,從而切線平行于割線AB,也就平行于x軸. 拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件: (1)在[a,b]連續(xù) (2)在(a,b)可導(dǎo) 則在(a,b)中至少存在一點(diǎn)c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)柯西中值定理:如果函數(shù)f(x)及f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)對(duì)任一x∈(a,b),f'(x)≠0,那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ζ,使等式[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f'(ζ)/f'(ζ)成立。柯西簡(jiǎn)潔而嚴(yán)格地證明了微積分學(xué)基本定理即牛頓-萊布尼茨公式。他利用定積分嚴(yán)格證明了帶余項(xiàng)的泰勒公式,還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積,推導(dǎo)了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。
六、羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理證明
一、地位不同: 1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣, 2、拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一階展開(kāi))。 二、幾何意義不同: 1、柯西中值定理幾何意義為,用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn),它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式?! ?、拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一,它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。
七、柯西定理和拉格朗日中值定理
柯西中值定理最主要的應(yīng)用是證明帶有拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式,只要反復(fù)使用柯西中值定理多次就能證明;柯西中值定理粗略地表明,對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)之間的給定平面弧,至少有一個(gè)點(diǎn),使曲線在該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。
柯西中值定理其幾何意義為,用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn),它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式,主要應(yīng)用于證明等式、不等式、求極限等。
八、能否用柯西中值定理證明拉格朗日中值定理
把拉格朗日定理移項(xiàng),得f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)=0,令u(x)等于等號(hào)左邊的函數(shù)。
于是有u(a)=u(b)=f(a),這就滿足了羅爾定理。
羅爾定理是:在[a,b]上滿足u(a)=u(b)時(shí),一定存在m屬于(a,b)使u(x)的導(dǎo)數(shù)等于0。
這些條件現(xiàn)在都滿足了,而且對(duì)u(x)求導(dǎo)后,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單移項(xiàng),立刻就可得到拉格朗日中值定理的式子。羅爾定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)時(shí)的特殊情況。
九、柯西中值定理與拉格朗日中值定理的關(guān)系
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,是微分學(xué)的基本定理之一。其幾何意義為,用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn),它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式。
柯西中值定理粗略地表明,對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)之間的給定平面弧,至少有一個(gè)點(diǎn),使曲線在該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。
十、可以用柯西中值定理證明拉格朗日定理嗎
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,是微分學(xué)的基本定理之一。
其幾何意義為,用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn),它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式。
柯西中值定理粗略地表明,對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)之間的給定平面弧,至少有一個(gè)點(diǎn),弧的切線通過(guò)其端點(diǎn)平行于切線。