解拉格朗日乘數(shù)法的技巧？

拉格朗日乘數(shù)法解法：在數(shù)學(xué)最優(yōu)問題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。

這種方法將一個(gè)有n個(gè)變量與k個(gè)約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n+k個(gè)變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

拉格朗日乘法是什么？

拉格朗日乘數(shù)（以 約瑟夫?路易斯?拉格朗日命名） 是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)限制的多元方程的極值的方法。 這種方法將一個(gè)有n 變量與 k 約束的問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)更易解的n + k個(gè)變量的方程組，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的斜率（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。介紹先看一個(gè)二維的例子：假設(shè)有方程： f(x,y)，要求其最大值，且 c 為常數(shù)。對不同dn的值，不難想象出 的等高線。而方程g的等高線正好是g(x,y) = c。想象我們沿著g = c的等高線走；因?yàn)榇蟛糠智闆r下f和g的等高線不會重合，但在有解的情況下，這兩條線會相交。想象此時(shí)我們移動g = c上的點(diǎn)，因?yàn)閒是連續(xù)的方程，我們因此能走到更高或更低的等高線上，也就是說dn可以變大或變小。只有當(dāng)g = c和相切，也就是說，此時(shí)，我們正同時(shí)沿著g = c和走。這種情況下，會出現(xiàn)極值或鞍點(diǎn)。氣象圖中就很常出現(xiàn)這樣的例子，當(dāng)溫度和氣壓兩列等高線同時(shí)出現(xiàn)的時(shí)候，切點(diǎn)就意味著約束極值的存在。用向量的形式來表達(dá)的話，我們說相切的性質(zhì)在此意味著f和g的斜率在某點(diǎn)上平行。此時(shí)引入一個(gè)未知標(biāo)量λ，并求解： 且 λ ≠ 0.一旦求出λ的值，將其套入下式，易求在無約束極值和極值所對應(yīng)的點(diǎn)。 = 新方程F(x,y)在達(dá)到極值時(shí)與f(x,y)相等，因?yàn)镕(x,y)達(dá)到極值時(shí)g(x,y) ?6?1 c總等于零。[編輯] 拉格朗日乘數(shù)的運(yùn)用方法如f定義為在Rn上的方程，約束為gk(x) = c（或?qū)⒓s束左移得到gk(x) ?6?1 c = 0）。定義拉格朗日Λ為 注意極值的條件和約束現(xiàn)在就都被記錄到一個(gè)式子里了： 和 拉格朗日乘數(shù)常被用作表達(dá)最大增長值。原因是從式子： 中我們可以看出λk是當(dāng)方程在被約束條件下，能夠達(dá)到的最大增長率。 拉格朗日力學(xué)就使用到這個(gè)原理。拉格朗日乘數(shù)法在Karush-Kuhn-Tucker最優(yōu)化條件被推廣。[編輯] 例子[編輯] 很簡單的例子求此方程的最大值：f(x,y) = x2y 同時(shí)未知數(shù)滿足x2 + y2 = 1 因?yàn)橹挥幸粋€(gè)未知數(shù)的限制條件，我們只需要用一個(gè)乘數(shù)λ.g(x,y) = x2 + y2 ?6?1 1 Φ(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) = x2y + λ(x2 + y2 ?6?1 1) 將所有Φ方程的偏微分設(shè)為零，得到一個(gè)方程組，最大值是以下方程組的解中的一個(gè)：2xy + 2λx = 0 x2 + 2λy = 0 x2 + y2 ?6?1 1 = 0 [編輯] 另一個(gè)例子求此離散分布的最大熵： 所有概率的總和是1，因此我們得到的約束是g(p) = 1 即 可以使用拉格朗日乘數(shù)找到最高熵（概率的函數(shù)）。對于所有的k 從1 到 n, 要求 由此得到 計(jì)算出這n個(gè)等式的微分，我們得到： 這說明pi 都相等 (因?yàn)樗鼈兌贾皇?λ 的函數(shù)). 解出約束 ∑k pk = 1, 得到 因此，使用均勻分布可得到最大熵的值。

拉格朗日數(shù)乘法 在條件極值問題中 滿足條件 g(x, y) = 0 下，去尋求函數(shù) f(x, y) 的極值。 對三變量函數(shù)

F(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)

聯(lián)立方程式

Fλ = g(x, y) = 0

Fx = fx (x, y) + λgx (x, y) = 0

Fy = fy (x, y) + λgy (x, y) = 0

求得的解 (x, y) 就成為極值的候補(bǔ)。

這樣求極值的方法就叫做拉格朗日乘數(shù)法、λ叫做拉格朗日乘數(shù)。

在g(x,y)=0下，求f(x, y) 的極值。

令函數(shù)F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

分別對x,y,λ求偏導(dǎo)并令之為0

對λ的偏導(dǎo)g(x,y)=0

對x的偏導(dǎo)fx(x,y)+λgx(x,y)=0

對y的偏導(dǎo)fy(x,y)+λgy(x,y)=0

求得的解(x,y)就可能是極值,要再代入檢驗(yàn)它異側(cè)的符號，若相同則不是極值點(diǎn)。

這樣求極值的方法就叫做拉格朗日乘數(shù)法、λ叫做拉格朗日乘數(shù)