1. 高中拉格朗日

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

2. 高中拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理又稱(chēng)拉氏定理,是微分學(xué)中的基本定理之一,它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一階展開(kāi))。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》的第六章提出了該定理,并進(jìn)行了初步證明,因此人們將該定理命名為拉格朗日中值定理。

3. 高中拉格朗日中值定理例題

公式，f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）

定義，如果函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：

（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使等式成立。

4. 高中拉格朗日定理

拉格朗日定理是數(shù)學(xué)家拉格朗日提出并且證明的定理，所以它又被親切的稱(chēng)為拉氏定理。看到這個(gè)拉氏定理你可能就有感覺(jué)了，所謂的拉氏拉氏，不就是拉屎拉屎的諧音嗎！所以拉格朗日定理又被人親切的稱(chēng)為拉屎定理了。

5. 高中拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè) 約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，其變量不受任何約束。

這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。

此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

6. 高中拉格朗日法

拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的 多元函數(shù)的 極值的方法。

這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè) 約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)向量的系數(shù)。此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值

7. 高中拉格朗日中值定理怎么用

把拉格朗日定理移項(xiàng)，得f(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)=0，令u(x)等于等號(hào)左邊的函數(shù)。

于是有u(a)=u(b)=f(a)，這就滿(mǎn)足了羅爾定理。

羅爾定理是：在[a,b]上滿(mǎn)足u(a)=u(b)時(shí)，一定存在m屬于（a,b)使u(x)的導(dǎo)數(shù)等于0。

這些條件現(xiàn)在都滿(mǎn)足了，而且對(duì)u(x)求導(dǎo)后，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單移項(xiàng)，立刻就可得到拉格朗日中值定理的式子。羅爾定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)時(shí)的特殊情況。

8. 高中拉格朗日點(diǎn)

拉格朗日點(diǎn)是三體意義下的一種平衡點(diǎn)，在拉格朗日點(diǎn)，第三體受到的另外兩個(gè)物體的引力合力為零。如果稍微偏離平衡點(diǎn)，第三體就會(huì)受到一個(gè)大概指向拉格朗日點(diǎn)方向的合力，類(lèi)似于繞天體中心的萬(wàn)有引力。從而可以得到環(huán)繞拉格朗日點(diǎn)的暈軌道。

9. 高中拉格朗日中值定理證明

1、證明涉及中值的不等式問(wèn)題。

2、涉及中值的不等式問(wèn)題（上述問(wèn)題的解題思路）。

3、含有多個(gè)中值的問(wèn)題。

4、從例2的物理意義分析其解題思路。

5、巧妙構(gòu)造輔助函數(shù)解決問(wèn)題。

6、巧妙構(gòu)造輔助函數(shù)解決問(wèn)題（上述問(wèn)題的解題思路）。

7、思考題：下面的推導(dǎo)正確嗎。

8、對(duì)“中值”的深入理解（上述思考題的解答）。

10. 高中拉格朗日乘數(shù)法例題

拉格朗日乘數(shù)原理（即拉格朗日乘數(shù)法）由用來(lái)解決有約束極值的一種方法。

有約束極值：舉例說(shuō)明，函數(shù) z=x^2+y^2 的極小值在x=y=0處取得，且其值為零。如果加上約束條件 x+y-1=0,那么在要求z的極小值的問(wèn)題就叫做有約束極值問(wèn)題。

上述問(wèn)題可以通過(guò)消元來(lái)解決，例如消去x，則變成

z=(y-1)^2+y^2

則容易求解。

但如果約束條件是(x+1)^2+(y-1)^2-5=0,此時(shí)消元將會(huì)很繁，則須用拉格朗日乘數(shù)法，過(guò)程如下：

令

f=x^2+y^2+k*((y-1)^2+y^2)

令

f對(duì)x的偏導(dǎo)=0

f對(duì)y的偏導(dǎo)=0

f對(duì)k的偏導(dǎo)=0

解上述三個(gè)方程，即可得到可讓z取到極小值的x,y值。

拉格朗日乘數(shù)原理在工程中有廣泛的應(yīng)用，以上只簡(jiǎn)單地舉一例，更復(fù)雜的情況（多元函數(shù)，多限制條件）可參閱高等數(shù)學(xué)教材。

11. 高中拉格朗日點(diǎn)的題目

又稱(chēng)平動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)小物體在兩個(gè)大物體的引力作用下在空間中的一點(diǎn)，在該點(diǎn)處，小物體相對(duì)于兩大物體基本保持靜止。

這些點(diǎn)的存在由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1767年推算出前三個(gè)，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1772年推導(dǎo)證明剩下兩個(gè)。每個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)同兩大物體所在的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。