1. 用拉格朗日

這個定理是高數中比較基礎且比較難的問題。一般是證明題中運用得比較多。比如說證明一個不等式。需要用到公式中的，切記這個是滿足區間中的任意數，要正確理解任意的含義。 舉一個證明的列子，書上也出現過的。證明（b-a）/b<lnb-lna<(b-a)/a要正確證明這個題，要先構造一個函數f(x)=lnx,然后運用拉格朗日中值定理。

2. 用拉格朗日中值定理證明不等式

對x, y, z > 0有

x3+y3+z3-3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) = (x+y+z)((x-y)2+(y-z)2+(z-x)2)/2 ≥ 0.

即x3+y3+z3 ≥ 3xyz.

對a, b, c > 0, 取x = a^(1/3), y = b^(1/3), z = c^(1/3)即得a+b+c ≥ 3(abc)^(1/3).

如果非要展開(a+b+c)3-27abc也可以, 分成以下幾個不等式:

a3+b3+c3-3abc ≥ 0,

3a2b+3bc2 ≥ 6abc, 即3b(a-c)2 ≥ 0,

3b2c+3ca2 ≥ 6abc, 即3c(b-a)2 ≥ 0,

3c2a+3ab2 ≥ 6abc, 即3a(c-b)2 ≥ 0.

加起來就是(a+b+c)3-27abc ≥ 0.

3. 用拉格朗日中值定理證明柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。其幾何意義為，用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式。柯西中值定理粗略地表明，對于兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，使曲線在該點的切線平行于兩端點所在的弦。

4. 用拉格朗日中值定理證明一致連續

如果函數f(x)在I上一致連續，自然在I上也是連續的；證明如下：設函數f(x)在I上一致連續，那么對于I上任意一點t，即t∈I；f(x)是一致連續的，對任取的e>0，存在d>0，當I上任意兩點a和b滿足|a-b|<d，有|f(a)-f(b)|<e；對I上的點x和y，當滿足|x-t|<d/2且|y-t|<d/2，那么|x-y|<d/2+d/2=d；有|f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|；由于f一致連續，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e；則|f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；也就是對任取的e>0，存在d'=d/2，當|x-t|<d'，有|f(x)-f(t)|<2e；即f(x)在點t連續；由于點t是在I上任意選取一點，f(x)在I上連續。所以一致連續函數一定連續。

5. 用拉格朗日中值定理求極限

用極限的定義來求極限就是了啊，定義法求極限一般是已知極限值的情況下才用的。令|函數-極限值|=一普舍了，

把自變量對一普舍了的關系找出來，然后再拿那個長尾巴的圈符號去代。

就可以證明對于所有x屬于u(x,長尾巴的圈)都有|函數-極限值|<一普舍了

詳細點可以看教材，里面很清楚！

6. 用拉格朗日中值定理證明e^x>ex

由于X～B（n，p），含義為n次獨立事件，每次發生的概率為p． 所以：EX=8，DX=1.6，即np=8，np（1-p）=1.6， 可解得p=0.8，n=10，

7. 用拉格朗日求極限的條件

這題不能用拉格朗日中值定理,因為拆成[cos(sinx)-cosx]/(sinx-x)*(sinx-x)/(1-cosx)sinx之後,分別計算每項極限.第一項用拉格朗日中值定理得極限是0,而第二項用等價無窮小替換得極限是∞,所以不能利用積的極限等於極限的積來拆開.這題最簡單就是分子用和差化積公式整理,然後等價替換分子=-2sin[(sinx+x)/2]*sin[(sinx-x)/2]~(x+sinx)(x-sinx)/2~x^4/6分母~x^4/2因此原式=1/3

8. 用拉格朗日定理證明e^x>1+x

拉格朗日定理存在于多個學科領域中，分別為：流體力學中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內無渦,則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時刻每個質點的坐標位置（a、b、c），作為該質點的標志。 如果在一個正整數的因數分解式中，沒有一個數有形式如4k+3的質數次方，該正整數可以表示成兩個平方數之和。

9. 什么時候用羅爾定理,什么時候用拉格朗日

拉格朗日定理的意義如下：

1、拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學應用的橋梁，在理論和實際中具有極高的研究價值。

2、幾何意義： 若連續曲線在 兩點間的每一點處都有不垂直于x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點 ，使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。

3、運動學意義：對于曲線運動在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等于這個過程中的平均速率。拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對洛必達法則進行嚴格的證明，并研究泰勒公式的余項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數的重要工具和微分學的重要組成部分。

10. 用拉格朗日乘數法求極值如何判斷是極大值

拉格朗日乘數法（以數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的 多元函數的 極值的方法。

這種方法將一個有n 個變量與k 個 約束條件的最優化問題轉換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標量未知數，即拉格朗日乘數：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個向量的系數。此方法的證明牽涉到偏微分， 全微分或鏈法，從而找到能讓設出的隱函數的微分為零的未知數的值

11. 用拉格朗日乘子法寫出線性規劃問題規范形式的對偶問題

matlab求線性規劃就是求最優解。其特點是針對線性規劃問題建模，直接利用matlab對模型求解。